Задача №09478

Сумма двух углов ромба равна $240^{\circ }\text{,}$ а его периметр равен 36. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

1. В ромбе сумма соседних углов равна $180^{\circ }\text{.}$ Поскольку сумма двух углов, данная в условии, составляет $240^{\circ }\text{,}$ это могут быть только противоположные углы (так как сумма соседних углов фиксирована).

2. Пусть величина противоположных углов равна $\alpha \text{.}$ Тогда $2\alpha =240^{\circ }\text{,}$ откуда $\alpha =120^{\circ }\text{.}$ Это тупые углы ромба.

3. Найдем острый угол ромба $\beta \text{:}$

$\beta =180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }\text{.}$

4. Периметр ромба равен 36. Поскольку все стороны ромба равны, длина одной стороны равна:

5. Меньшая диагональ ромба лежит против острого угла $60^{\circ }\text{.}$ Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и этой диагональю. Он является равнобедренным (так как стороны ромба равны) с углом при вершине $60^{\circ }\text{.}$ Следовательно, этот треугольник — равносторонний.

6. Так как треугольник равносторонний, длина меньшей диагонали равна длине стороны ромба, то есть 9.

Ответ: 9.