Задача №09471

В параллелограмме $ABCD$ отмечена точка $M$ — середина стороны $BC\text{.}$ Отрезки $BD$ и $AM$ пересекаются в точке $K\text{.}$ Найдите $BK\text{,}$ если $BD=9\text{.}$

Рассмотрим треугольники $BKM$ и $DKA\text{.}$ Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $BC\parallel AD\text{.}$ При пересечении этих параллельных прямых секущими $AM$ и $BD$ накрест лежащие углы равны: $\angle KBM=\angle KDA$ и $\angle KMB=\angle KAD\text{.}$

Следовательно, треугольники $BKM$ и $DKA$ подобны по двум углам. Найдём коэффициент подобия $k\text{:}$

По условию точка $M$ является серединой стороны $BC\text{,}$ значит, $BM=\frac{1}{2}BC\text{.}$ Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны ($BC=AD$), получаем:

Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:

Диагональ $BD$ равна сумме отрезков $BK$ и $KD\text{:}$

По условию $BD=9\text{.}$ Тогда:

Ответ: 3