Задача №09470 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB = 12 и AD = 21, отмечена точка E так, что треугольник ABE равнобедренный. Найдите ED.

Так как ABCD — прямоугольник, его противоположные стороны равны: BC = AD = 21, CD = AB = 12. По условию точка E лежит на стороне BC, а треугольник ABE — равнобедренный. Угол B прямоугольника равен 90^, следовательно, треугольник ABE — прямоугольный с прямым углом при вершине B. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов, поэтому равными могут быть только катеты: BE = AB = 12 Найдем длину отрезка EC: EC = BC - BE = 21 - 12 = 9 Рассмотрим прямоугольный треугольник ECD (угол C = 90^). По теореме Пифагора: ED^2 = EC^2 + CD^2 Подставим известные значения: ED^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 ED = sqrt(225) = 15 Ответ: 15.

15