Задача №09470

Так как $ABCD$ — прямоугольник, его противоположные стороны равны: $BC=AD=21\text{,}$ $CD=AB=12\text{.}$

По условию точка $E$ лежит на стороне $BC\text{,}$ а треугольник $ABE$ — равнобедренный. Угол $\angle B$ прямоугольника равен $90^{\circ }\text{,}$ следовательно, треугольник $ABE$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B\text{.}$

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов, поэтому равными могут быть только катеты:

$$BE=AB=12$$

Найдем длину отрезка $EC\text{:}$

$$EC=BC-BE=21-12=9$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ECD$ (угол $\angle C=90^{\circ }$). По теореме Пифагора:

$$E{D}^2=E{C}^2+C{D}^2$$

Подставим известные значения:

$$E{D}^2=9^2+12^2=81+144=225$$ $$ED=\sqrt{225}=15$$

Ответ: $15\text{.}$