Задача №09468

В треугольнике $ABC$ внутренний угол при вершине $C$ и внешний угол при этой же вершине являются смежными, поэтому их сумма равна $180^{\circ }\text{.}$

Найдем внутренний угол $C\text{:}$

$$\angle C=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }.$$

Синус этого угла равен:

$$\sin C=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}.$$

По теореме синусов для треугольника $ABC$ отношение стороны к синусу противолежащего угла является постоянным:

$$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}.$$

Подставим известные значения $BC=8\text{,}$ $\sin A=\frac{1}{4}$ и $\sin C=\frac{1}{2}\text{:}$

$$\frac{8}{1/4}=\frac{AB}{1/2}.$$ $$8\cdot 4=AB\cdot 2.$$ $$32=2\cdot AB.$$ $$AB=16.$$