Задача №09462

Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам, поэтому в треугольнике $ABC$ она одновременно является медианой и биссектрисой, проведёнными из вершины $B\text{.}$ Если медиана и биссектриса, выходящие из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный, то есть $AB=BC\text{.}$

Тогда $BM$ является и высотой, значит $BM\perp AC$ и угол $BMA=90^{\circ }\text{.}$

Биссектриса делит угол $B=120^{\circ }$ пополам, поэтому

$$\angle ABM=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ с прямым углом при вершине $M\text{.}$ В нём $AB$ — гипотенуза, а катет $BM$ прилежит к углу $ABM=60^{\circ }\text{.}$ Тогда:

$$\cos \angle ABM=\frac{BM}{AB}\Rightarrow AB=\frac{BM}{\cos 60^{\circ }}=\frac{22}{0,5}=44.$$

Ответ: 44.