Задача №09456

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ внутренний угол $BAC$ и внешний угол при вершине $A$ являются смежными. Их сумма равна $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle BAC=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ косинус острого угла $BAC$ равен отношению прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB\text{:}$

$$\cos (\angle BAC)=\frac{AC}{AB}.$$

Поскольку $\cos (60^{\circ })=\frac{1}{2}\text{,}$ получаем:

$$\frac{1}{2}=\frac{55}{AB}\Rightarrow AB=55\cdot 2=110.$$

Ответ: $AB=110\text{.}$