Основания равнобедренной трапеции равны 33 и 75, боковая сторона равна 75. Найдите длину диагонали трапеции.

Пусть основания трапеции BC = 33 (меньшее) и AD = 75 (большее), боковая сторона равна 75. Опустим из вершин меньшего основания высоты на большее основание. В равнобедренной трапеции высоты, опущенные из концов меньшего основания, отсекают по краям равные прямоугольные треугольники. Горизонтальная проекция боковой стороны на большее основание равна: (AD - BC)/(2) = (75 - 33)/(2) = 21. Высоту трапеции h найдём из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и этой проекцией: h = sqrt(75^2 - 21^2) = sqrt(5625 - 441) = sqrt(5184) = 72. Теперь рассмотрим диагональ AC. Длина её горизонтальной проекции на большее основание складывается из отсечённого треугольника и меньшего основания: 21 + 33 = 54. Диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 54 и высотой 72: AC = sqrt(54^2 + 72^2) = sqrt(2916 + 5184) = sqrt(8100) = 90. Ответ: 90.

90