Задача №09455

Пусть основания трапеции $BC=33$ (меньшее) и $AD=75$ (большее), боковая сторона равна $75\text{.}$ Опустим из вершин меньшего основания высоты на большее основание.

В равнобедренной трапеции высоты, опущенные из концов меньшего основания, отсекают по краям равные прямоугольные треугольники. Горизонтальная проекция боковой стороны на большее основание равна:

$$\frac{AD-BC}{2}=\frac{75-33}{2}=21.$$

Высоту трапеции $h$ найдём из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и этой проекцией:

$$h=\sqrt{75^2-21^2}=\sqrt{5625-441}=\sqrt{5184}=72.$$

Теперь рассмотрим диагональ $AC\text{.}$ Длина её горизонтальной проекции на большее основание складывается из отсечённого треугольника и меньшего основания:

$$21+33=54.$$

Диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $54$ и высотой $72\text{:}$

$$AC=\sqrt{54^2+72^2}=\sqrt{2916+5184}=\sqrt{8100}=90.$$

Ответ: 90.