Задача №09453

Пусть диагонали ромба $ABCD$ пересекаются в точке $O\text{.}$

По свойствам ромба:
1. Диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC\perp BD\text{,}$ следовательно, треугольник $ABO$ — прямоугольный ($\angle AOB=90^{\circ }$).
2. Диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому:

$$AO=\frac{AC}{2}=\frac{80}{2}=40.$$

В прямоугольном треугольнике $ABO$ гипотенуза $AB=41\text{,}$ катет $AO=40\text{.}$ По теореме Пифагора найдём катет $BO\text{:}$

$$B{O}^2=A{B}^2-A{O}^2$$ $$BO=\sqrt{41^2-40^2}=\sqrt{(41-40)(41+40)}=\sqrt{1\cdot 81}=9.$$

Тангенс угла $BAC$ (который совпадает с углом $BAO$) в прямоугольном треугольнике $ABO$ равен отношению противолежащего катета $BO$ к прилежащему катету $AO\text{:}$

$$\tan \angle BAC=\frac{BO}{AO}=\frac{9}{40}=0,225.$$