Задача №09446

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с $AB=BC$ медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию $AC\text{,}$ является также высотой. Значит, $BM\perp AC$ и $BM=2\text{.}$

Площадь треугольника выразим через основание $AC$ и высоту $BM\text{:}$

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BM.$$

Тогда:

$$2\sqrt{21}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot 2=AC.$$

Следовательно, $AC=2\sqrt{21}\text{,}$ а так как $M$ — середина $AC\text{:}$

$$AM=\frac{AC}{2}=\sqrt{21}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ с прямым углом при вершине $M\text{.}$ По теореме Пифагора:

$$A{B}^2=A{M}^2+B{M}^2=(\sqrt{21}{)}^2+2^2=21+4=25.$$

Тогда:

$$AB=\sqrt{25}=5.$$

Ответ: 5.