Задача №09442

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ высота $BK\text{,}$ проведённая к основанию, совпадает с медианой, поэтому точка $K$ — середина стороны $AC\text{.}$ Тогда:

$$AK=KC=\frac{AC}{2}=\frac{60}{2}=30.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$ (угол при вершине $K$ прямой, так как $BK$ — высота). По теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{A{K}^2+B{K}^2}=\sqrt{30^2+16^2}=\sqrt{900+256}=\sqrt{1156}=34.$$

Точка $K$ — середина стороны $AC\text{,}$ а точка $P$ — середина стороны $BC\text{.}$ Значит, отрезок $KP$ — средняя линия треугольника $ABC\text{,}$ соединяющая середины сторон $AC$ и $BC\text{.}$ Средняя линия параллельна третьей стороне $AB$ и равна её половине:

$$KP=\frac{AB}{2}=\frac{34}{2}=17.$$

Ответ: 17