Задача №09440

На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD\text{,}$ у которого $AB=20$ и $AD=41\text{,}$ отмечена точка $E$ так, что $\angle EAB=45^{\circ }\text{.}$ Найдите $ED\text{.}$

Прямоугольник $ABCD\text{:}$ $AB=CD=20\text{,}$ $AD=BC=41\text{,}$ все углы прямые. Точка $E$ лежит на стороне $BC\text{.}$

В треугольнике $ABE$ угол $\angle ABE=90^{\circ }$ (так как $AB\perp BC$), а угол $\angle EAB=45^{\circ }$ по условию. Тогда угол $\angle AEB=180^{\circ }-90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }\text{.}$ Следовательно, треугольник $ABE$ равнобедренный: $AB=BE=20\text{.}$

Отсюда $EC=BC-BE=41-20=21\text{.}$

Рассмотрим треугольник $ECD\text{.}$ Угол $\angle C$ прямой, $EC=21\text{,}$ $CD=20\text{.}$ По теореме Пифагора:

Ответ: 29.