Задача №09428

Пусть $BH$ — высота равнобедренного треугольника $ABC\text{,}$ проведённая к основанию $AC\text{.}$

Поскольку в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой, точка $H$ делит основание пополам:

$$AH=\frac{AC}{2}=\frac{40}{2}=20.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $H$ равен $90^{\circ }$). Тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BH$ к прилежащему катету $AH\text{:}$

$$\mathrm{tg}A=\frac{BH}{AH}.$$

Выразим и найдём высоту $BH\text{:}$

$$BH=AH\cdot \mathrm{tg}A=20\cdot \frac{7}{5}=4\cdot 7=28.$$

Площадь треугольника $ABC$ находится как половина произведения основания на высоту:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 28=20\cdot 28=560.$$

Ответ: 560