Задача №09425

Так как $AB=BC\text{,}$ треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC\text{.}$ Опустим из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $AC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой, поэтому точка $H$ — середина $AC\text{:}$

$$AH=\frac{AC}{2}=\frac{6}{2}=3.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ с прямым углом при вершине $H\text{.}$ В нём $\angle BAH=\angle BAC\text{,}$ а

$$\mathrm{tg}\angle BAH=\frac{BH}{AH}.$$

Отсюда

$$BH=AH\cdot \mathrm{tg}\angle BAC=3\cdot \frac{\sqrt{7}}{3}=\sqrt{7}.$$

По теореме Пифагора в треугольнике $ABH\text{:}$

$$AB=\sqrt{A{H}^2+B{H}^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{7}{)}^2}=\sqrt{9+7}=\sqrt{16}=4.$$

Ответ: 4.