Задача №09423

Сумма двух углов ромба равна $120^{\circ }\text{,}$ а его меньшая диагональ равна $8\text{.}$ Найдите периметр ромба.

1. Определим углы ромба.

В ромбе противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна $180^{\circ }\text{.}$ По условию, сумма двух углов равна $120^{\circ }\text{.}$ Эта сумма не может быть суммой соседних углов, так как они в сумме дают $180^{\circ }\text{.}$ Значит, это сумма двух противоположных углов. Поскольку противоположные углы равны, каждый из этих углов равен:
$\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }\text{.}$

Тогда другие два угла (соседние с ними) равны:
$180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }\text{.}$

Таким образом, углы ромба: $60^{\circ }\text{,}$ $120^{\circ }\text{,}$ $60^{\circ }\text{,}$ $120^{\circ }\text{.}$ Меньший угол — $60^{\circ }\text{.}$

2. Найдём сторону ромба.

Меньшая диагональ ромба соответствует меньшему углу. Для ромба со стороной $a$ и острым углом $\alpha =60^{\circ }\text{,}$ меньшая диагональ $d$ вычисляется по формуле:

Подставляем $\alpha =60^{\circ }\text{,}$ тогда $\frac{\alpha }{2}=30^{\circ }\text{,}$ $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}\text{:}$

По условию меньшая диагональ равна $8\text{,}$ поэтому $a=8\text{.}$

3. Найдём периметр ромба.

Периметр ромба равен:
$P=4a=4\cdot 8=32\text{.}$

Ответ: 32