Задача №09420

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD=68^{\circ }\text{.}$ Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O\text{.}$ Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому $AO=OC=\frac{AC}{2}\text{.}$

По условию $AC=2\cdot AB\text{,}$ значит $AO=\frac{AC}{2}=AB\text{.}$

Так как $AB\parallel CD\text{,}$ а $AC$ — секущая, то накрест лежащие углы равны:

Рассмотрим треугольник $AOB\text{.}$ В нём $AO=AB\text{,}$ то есть он равнобедренный с основанием $OB\text{.}$ Углы при основании равны:

Поскольку $\angle OAB=\angle BAC=68^{\circ }\text{,}$ получаем:

Угол $\angle AOB$ — это угол между диагоналями параллелограмма.

Ответ: 56