Задача №09419

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$ (дугу $AC\text{,}$ не содержащую точку $B$). Значит:

$$⌣ADC=2\cdot \angle ABC=2\cdot 56^{\circ }=112^{\circ }.$$

Эта дуга складывается из дуг $AD$ и $DC\text{:}$ $⌣ADC=⌣AD+⌣DC\text{.}$

Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$ (дугу $CD\text{,}$ не содержащую точку $A$). Значит:

$$⌣DC=2\cdot \angle CAD=2\cdot 42^{\circ }=84^{\circ }.$$

Тогда:

$$⌣AD=⌣ADC-⌣DC=112^{\circ }-84^{\circ }=28^{\circ }.$$

Угол $ABD$ опирается на дугу $AD$ (не содержащую точку $B$), поэтому:

$$\angle ABD=\frac{1}{2}⌣AD=\frac{28^{\circ }}{2}=14^{\circ }.$$

Ответ: 14