Задача №09413

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с боковыми сторонами $AB=BC$ медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию $AC\text{,}$ является также высотой. Значит, $BM\perp AC$ и треугольник $ABM$ прямоугольный с прямым углом при вершине $M\text{.}$

В этом прямоугольном треугольнике гипотенуза $AB=12\text{,}$ а катет $BM=6\sqrt{3}\text{.}$ Найдём второй катет $AM$ по теореме Пифагора:

$$AM=\sqrt{A{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{12^2-(6\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{144-108}=\sqrt{36}=6.$$

Угол $\angle BAC$ — это угол при вершине $A$ в прямоугольном треугольнике $ABM\text{,}$ для которого $AM$ — прилежащий катет, а $AB$ — гипотенуза. Тогда:

$$\cos \angle BAC=\frac{AM}{AB}=\frac{6}{12}=0,5.$$

Ответ: 0,5