Задача №09411

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^{\circ }\text{,}$ $AB=72\text{.}$ Найдите длину биссектрисы $BK\text{.}$

Внешний угол при вершине смежен с внутренним, поэтому внутренние углы при основании равны:

Так как $\angle A=\angle C\text{,}$ треугольник $ABC$ равнобедренный с $AB=BC\text{.}$ Угол при вершине:

В равнобедренном треугольнике биссектриса $BK\text{,}$ проведённая из вершины к основанию, является также высотой, поэтому $BK\perp AC$ и $\angle BKA=90^{\circ }\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK\text{:}$ в нём $\angle A=30^{\circ }\text{,}$ гипотенуза $AB=72\text{,}$ а катет $BK$ лежит против угла $A\text{.}$ Тогда:

Ответ: 36.