Задача №09408

В ромбе противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна $180^{\circ }\text{.}$ Значит, ромб имеет два равных угла одной величины и два равных угла другой величины.

Сумма двух углов равна $240^{\circ }\text{.}$ Если бы это были соседние углы, их сумма равнялась бы $180^{\circ }\text{.}$ Значит, это два равных (противоположных) угла:

$$2\alpha =240^{\circ }\Rightarrow \alpha =120^{\circ }.$$

Тогда соседний с ним угол равен $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }\text{.}$

Меньшая диагональ ромба лежит против меньшего угла и соединяет вершины тупых углов. Она отсекает от ромба треугольник со сторонами, равными стороне ромба $a\text{,}$ и углом $60^{\circ }$ между ними. По теореме косинусов длина этой диагонали $d\text{:}$

$$d^2=a^2+a^2-2a^2\cos 60^{\circ }=2a^2-2a^2\cdot \frac{1}{2}=a^2.$$

Значит, $d=a\text{,}$ то есть меньшая диагональ равна стороне ромба:

$$a=30.$$

Периметр ромба:

$$P=4a=4\cdot 30=120.$$

Ответ: 120.