Задача №09401

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с боковыми сторонами $AB=BC=29$ медиана $BK\text{,}$ проведённая к основанию $AC\text{,}$ является также высотой. Таким образом, треугольник $BKC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K\text{.}$

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $BKC\text{:}$

$$B{C}^2=B{K}^2+K{C}^2$$

Выразим и найдём длину катета $KC\text{:}$

$$KC=\sqrt{B{C}^2-B{K}^2}=\sqrt{29^2-20^2}=\sqrt{841-400}=\sqrt{441}=21$$

Поскольку $BK$ — медиана, точка $K$ является серединой стороны $AC\text{,}$ то есть:

$$AC=2\cdot KC=2\cdot 21=42.$$

Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон $AB$ и $BC\text{,}$ значит, $MN$ является средней линией треугольника $ABC\text{.}$

По свойству средней линии треугольника, её длина равна половине длины стороны, которой она параллельна:

$MN=\frac{AC}{2}=KC=21\text{.}$

Ответ: 21