Основания равнобедренной трапеции равны 9 и 51 , боковая сторона равна 75 . Найдите длину диагонали трапеции.

Задача №09395: Планиметрия

Пусть $A B C D$ — равнобедренная трапеция с основаниями $B C = 9,$ $A D = 51$ и боковой стороной $A B = C D = 75 .$

1. Проведём высоты $B H$ и $C K$ из вершин меньшего основания к большему. В равнобедренной трапеции отрезки $A H$ и $K D$ равны:

A H = K D = \frac{A D - B C}{2} = \frac{51 - 9}{2} = 21

2. Из прямоугольного треугольника $A B H$ по теореме Пифагора найдём высоту трапеции $B H :$

B H^{2} = A B^{2} - A H^{2} = 7 5^{2} - 2 1^{2} = (75 - 21) (75 + 21) = 54 \cdot 96 = 5184

B H = 5184 = 72

3. Найдём длину отрезка $H D,$ который является вторым катетом для прямоугольного треугольника с гипотенузой-диагональю:

H D = A D - A H = 51 - 21 = 30

4. Из прямоугольного треугольника $B H D$ по теореме Пифагора найдём длину диагонали $B D :$

B D^{2} = B H^{2} + H D^{2} = 7 2^{2} + 3 0^{2} = 5184 + 900 = 6084

B D = 6084 = 78

Ответ: 78

Пусть $A B C D$ — равнобедренная трапеция с основаниями $B C = 9,$ $A D = 51$ и боковой стороной $A B = C D = 75 .$

A H = K D = \frac{A D - B C}{2} = \frac{51 - 9}{2} = 21

2. Из прямоугольного треугольника $A B H$ по теореме Пифагора найдём высоту трапеции $B H :$

B H^{2} = A B^{2} - A H^{2} = 7 5^{2} - 2 1^{2} = (75 - 21) (75 + 21) = 54 \cdot 96 = 5184

B H = 5184 = 72

H D = A D - A H = 51 - 21 = 30

4. Из прямоугольного треугольника $B H D$ по теореме Пифагора найдём длину диагонали $B D :$

B D^{2} = B H^{2} + H D^{2} = 7 2^{2} + 3 0^{2} = 5184 + 900 = 6084

B D = 6084 = 78

Ответ: 78