В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона AB = 39, sin A = (12)/(13). Найдите площадь треугольника ABC.

В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны AB = BC = 39, основание — AC. Углы при основании равны: A = C. Опустим из вершины B высоту BH на основание AC. В равнобедренном треугольнике эта высота является и медианой, поэтому H — середина AC, а треугольник ABH прямоугольный с прямым углом при H. По условию sin A = (12)/(13). Тогда: cos A = sqrt(1 - sin^2 A) = sqrt(1 - (144)/(169)) = (5)/(13). Из прямоугольного треугольника ABH с гипотенузой AB = 39: BH = AB * sin A = 39 * (12)/(13) = 36, AH = AB * cos A = 39 * (5)/(13) = 15. Тогда основание AC = 2 * AH = 2 * 15 = 30. Площадь треугольника: S = (1)/(2) * AC * BH = (1)/(2) * 30 * 36 = 540. Ответ: 540.

540