Задача №09394

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB=BC=39\text{,}$ основание — $AC\text{.}$ Углы при основании равны: $\angle A=\angle C\text{.}$

Опустим из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $AC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике эта высота является и медианой, поэтому $H$ — середина $AC\text{,}$ а треугольник $ABH$ прямоугольный с прямым углом при $H\text{.}$

По условию $\sin A=\frac{12}{13}\text{.}$ Тогда:

$$\cos A=\sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}.$$

Из прямоугольного треугольника $ABH$ с гипотенузой $AB=39\text{:}$

$$BH=AB\cdot \sin A=39\cdot \frac{12}{13}=36,$$ $$AH=AB\cdot \cos A=39\cdot \frac{5}{13}=15.$$

Тогда основание $AC=2\cdot AH=2\cdot 15=30\text{.}$

Площадь треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 36=540.$$

Ответ: 540.