Задача №09390

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ косинус острого угла $A$ равен отношению прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB\text{:}$

$$\cos A=\frac{AC}{AB}\Rightarrow AC=AB\cdot \cos A$$

Используя основное тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ и учитывая, что угол $A$ — острый ($\cos A>0$), найдем $\cos A\text{:}$

$$\cos A=\sqrt{1-{\sin }^{2}A}$$

Подставим известное значение $\sin A=\frac{24}{25}\text{:}$

$$\cos A=\sqrt{1-{\left(\frac{24}{25}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{576}{625}}=\sqrt{\frac{49}{625}}=\frac{7}{25}$$

Теперь найдем длину стороны $AC\text{:}$

$$AC=50\cdot \frac{7}{25}=2\cdot 7=14$$

Ответ: 14