Задача №09384

Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам, значит $BM$ является одновременно медианой и биссектрисой. Если в треугольнике медиана и биссектриса, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный: $AB=BC\text{.}$

В равнобедренном треугольнике медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию $AC\text{,}$ является также высотой, поэтому $BM\perp AC$ и угол $BMA=90^{\circ }\text{.}$

Биссектриса делит угол $B$ пополам:

$$\angle ABM=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ с прямым углом при вершине $M\text{.}$ Сторона $AB$ — гипотенуза, а катет $BM$ прилежит к углу $ABM\text{.}$ Тогда:

$$\cos \angle ABM=\frac{BM}{AB}.$$

Отсюда:

$$AB=\frac{BM}{\cos 60^{\circ }}=\frac{32}{0,5}=64.$$

Ответ: 64.