Основания равнобедренной трапеции равны 9 и 51, боковая сторона равна 75. Найдите длину диагонали трапеции.

Обозначим равнобедренную трапецию ABCD, где BC=9 — меньшее основание, AD=51 — большее основание, а боковые стороны AB=CD=75. Опустим из вершин B и C высоты на большее основание. Так как трапеция равнобедренная, основания высот делят разность оснований пополам, поэтому проекция боковой стороны на большее основание равна: (AD-BC)/(2)=(51-9)/(2)=21. Найдём высоту трапеции из прямоугольного треугольника с гипотенузой — боковой стороной: h=sqrt(75^2-21^2)=sqrt(5625-441)=sqrt(5184)=72. Рассмотрим диагональ, проведённую из вершины большего основания в противоположную вершину меньшего. Её горизонтальная проекция на большее основание равна: 21+9=(AD+BC)/(2)=(51+9)/(2)=30, а вертикальная проекция равна высоте h=72. Тогда длина диагонали по теореме Пифагора: d=sqrt(30^2+72^2)=sqrt(900+5184)=sqrt(6084)=78. Ответ: 78.

78