Задача №09381

Обозначим равнобедренную трапецию $ABCD\text{,}$ где $BC=9$ — меньшее основание, $AD=51$ — большее основание, а боковые стороны $AB=CD=75\text{.}$

Опустим из вершин $B$ и $C$ высоты на большее основание. Так как трапеция равнобедренная, основания высот делят разность оснований пополам, поэтому проекция боковой стороны на большее основание равна:

$$\frac{AD-BC}{2}=\frac{51-9}{2}=21.$$

Найдём высоту трапеции из прямоугольного треугольника с гипотенузой — боковой стороной:

$$h=\sqrt{75^2-21^2}=\sqrt{5625-441}=\sqrt{5184}=72.$$

Рассмотрим диагональ, проведённую из вершины большего основания в противоположную вершину меньшего. Её горизонтальная проекция на большее основание равна:

$$21+9=\frac{AD+BC}{2}=\frac{51+9}{2}=30,$$

а вертикальная проекция равна высоте $h=72\text{.}$

Тогда длина диагонали по теореме Пифагора:

$$d=\sqrt{30^2+72^2}=\sqrt{900+5184}=\sqrt{6084}=78.$$

Ответ: 78.