Задача №09378

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны равны: $AB=BC=58\text{,}$ а углы при основании равны: $\angle A=\angle C\text{.}$

Проведём высоту $BH$ к основанию $AC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой, поэтому $AH=HC=\frac{AC}{2}\text{.}$

Найдём $\cos A$ по основному тригонометрическому тождеству. Угол $A$ острый, поэтому косинус положителен:

$$\cos A=\sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(\frac{20}{29}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{400}{841}}=\sqrt{\frac{441}{841}}=\frac{21}{29}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ($\angle H=90^{\circ }$). Тогда:

$$BH=AB\cdot \sin A=58\cdot \frac{20}{29}=40,$$ $$AH=AB\cdot \cos A=58\cdot \frac{21}{29}=42.$$

Следовательно, основание:

$$AC=2\cdot AH=2\cdot 42=84.$$

Площадь треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 84\cdot 40=1680.$$

Ответ: 1680.