В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона AB = 58, sin A = (20)/(29). Найдите площадь треугольника ABC.

В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны равны: AB = BC = 58, а углы при основании равны: A = C. Проведём высоту BH к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой, поэтому AH = HC = (AC)/(2). Найдём cos A по основному тригонометрическому тождеству. Угол A острый, поэтому косинус положителен: cos A = sqrt(1 - sin^2 A) = sqrt(1 - ((20)/(29))^2) = sqrt(1 - (400)/(841)) = sqrt((441)/(841)) = (21)/(29). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH ( H = 90^). Тогда: BH = AB * sin A = 58 * (20)/(29) = 40, AH = AB * cos A = 58 * (21)/(29) = 42. Следовательно, основание: AC = 2 * AH = 2 * 42 = 84. Площадь треугольника: S = (1)/(2) * AC * BH = (1)/(2) * 84 * 40 = 1680. Ответ: 1680.

1680