Задача №09372

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ точка $K$ — середина $AC\text{,}$ а $BK$ — медиана, проведённая к основанию.

Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон $AB$ и $BC\text{,}$ поэтому $MN$ — средняя линия треугольника. Средняя линия параллельна основанию и равна его половине:

$$MN=\frac{AC}{2}.$$

Отсюда:

$$AC=2\cdot MN=2\cdot 24=48,AK=KC=\frac{AC}{2}=24.$$

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и высотой, поэтому $BK\perp AC$ и треугольник $ABK$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $K\text{.}$

По теореме Пифагора:

$$A{B}^2=A{K}^2+B{K}^2=24^2+10^2=576+100=676.$$

Тогда:

$$AB=\sqrt{676}=26.$$

Ответ: 26.