Задача №09371

Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой, поэтому точка $H$ — середина $AC\text{:}$

$$AH=\frac{AC}{2}=\frac{25}{2}=12,5.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ с прямым углом при вершине $H\text{.}$ Тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BH$ к прилежащему катету $AH\text{:}$

$$\mathrm{tg}A=\frac{BH}{AH}\Rightarrow BH=AH\cdot \mathrm{tg}A=12,5\cdot \frac{8}{5}=20.$$

Тогда площадь треугольника $ABC$ равна:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 20=250.$$

Ответ: 250.