Задача №09366

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $AD=92$ (большее) и $BC=62$ (меньшее) и боковой стороной $39\text{.}$

Опустим из вершин $B$ и $C$ высоты на основание $AD\text{.}$ Так как трапеция равнобедренная, основание делится на средний отрезок длиной $62$ и два равных крайних отрезка длиной

$$\frac{92-62}{2}=15.$$

Из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и крайним отрезком $15\text{,}$ находим высоту трапеции:

$$h=\sqrt{39^2-15^2}=\sqrt{1521-225}=\sqrt{1296}=36.$$

Рассмотрим диагональ, проведённую из вершины большего основания к противоположной вершине меньшего основания. Её горизонтальная проекция равна $15+62=77\text{,}$ а вертикальная проекция равна высоте $h=36\text{.}$ Тогда длина диагонали:

$$d=\sqrt{77^2+36^2}=\sqrt{5929+1296}=\sqrt{7225}=85.$$

Ответ: 85.