Задача №09360

Треугольники $ABC$ и $MBK$ имеют общий угол $B\text{,}$ так как точка $M$ лежит на стороне $AB\text{,}$ а точка $K$ — на стороне $BC\text{.}$

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BA\cdot BC\cdot \sin B,S_{MBK}=\frac{1}{2}\cdot BM\cdot BK\cdot \sin B.$$

Разделим площади:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{MBK}}=\frac{BA\cdot BC}{BM\cdot BK}.$$

Из условия $BM:AB=1:2\text{,}$ значит $\frac{AB}{BM}=2\text{.}$

Из условия $BK:BC=10:11\text{,}$ значит $\frac{BC}{BK}=\frac{11}{10}\text{.}$

Тогда:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{MBK}}=\frac{AB}{BM}\cdot \frac{BC}{BK}=2\cdot \frac{11}{10}=\frac{22}{10}=2,2.$$

Ответ: 2,2