Задача №09359

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^{\circ }\text{,}$ $AB=44\text{.}$ Найдите $BD\text{.}$

Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. Следовательно, все его стороны равны: $AB=BC=CD=DA=44\text{.}$

В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому $\angle A=\angle C\text{.}$ Из условия сумма углов $A$ и $C$ равна $120^{\circ }\text{,}$ значит:

В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов, поэтому диагональ $AC$ делит угол $A$ пополам: $\angle BAO=\angle DAO=30^{\circ }\text{,}$ где $O$ — точка пересечения диагоналей.

Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому $\angle AOB=90^{\circ }\text{.}$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB\text{,}$ в котором $\angle OAB=30^{\circ }\text{,}$ а гипотенуза $AB=44\text{.}$

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы. Катет $BO$ лежит против угла $\angle OAB=30^{\circ }\text{,}$ поэтому:

В ромбе диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому:

Ответ: 44