Задача №09356 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В треугольнике ABC угол B равен 120^. Медиана BM делит угол B пополам и равна 22. Найдите длину стороны AB.

Так как по условию медиана BM делит угол B пополам, она также является биссектрисой треугольника ABC. Если в треугольнике медиана совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным с основанием AC (то есть AB = BC). В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, также является высотой. Следовательно, BM AC, и треугольник ABM является прямоугольным ( AMB = 90^). Поскольку BM — биссектриса угла B, градусная мера угла ABM равна: ABM = ( B)/(2) = (120^)/(2) = 60^ . В прямоугольном треугольнике ABM сумма острых углов равна 90^, откуда находим угол A: A = 90^ - ABM = 90^ - 60^ = 30^ . В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30^, равен половине гипотенузы. Катет BM лежит против угла A = 30^, следовательно: BM = (1)/(2) AB => AB = 2 * BM . Подставляя значение BM = 22, получаем: AB = 2 * 22 = 44 . Ответ: 44.

44