Задача №09356

Так как по условию медиана $BM$ делит угол $B$ пополам, она также является биссектрисой треугольника $ABC\text{.}$

Если в треугольнике медиана совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $AC$ (то есть $AB=BC$).

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, также является высотой. Следовательно, $BM\perp AC\text{,}$ и треугольник $ABM$ является прямоугольным ($\angle AMB=90^{\circ }$).

Поскольку $BM$ — биссектриса угла $B\text{,}$ градусная мера угла $ABM$ равна:

$$\angle ABM=\frac{\angle B}{2}=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике $ABM$ сумма острых углов равна $90^{\circ }\text{,}$ откуда находим угол $A\text{:}$

$$\angle A=90^{\circ }-\angle ABM=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы. Катет $BM$ лежит против угла $A=30^{\circ }\text{,}$ следовательно:

$$BM=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AB=2\cdot BM.$$

Подставляя значение $BM=22\text{,}$ получаем:

$$AB=2\cdot 22=44.$$

Ответ: $44\text{.}$