В треугольнике ABC проведена медиана BM, на стороне AB взята точка K так, что AK = (1)/(7)AB. Площадь треугольника AMK равна 2. Найдите площадь треугольника ABC.

Задача №09345: Планиметрия

В треугольнике $A B C$ проведена медиана $B M,$ на стороне $A B$ взята точка $K$ так, что $A K = \frac{1}{7} A B .$ Площадь треугольника $A M K$ равна 2. Найдите площадь треугольника $A B C .$

Медиана $B M$ проведена к стороне $A C,$ поэтому точка $M$ — середина $A C,$ и $A M = \frac{1}{2} A C .$

Треугольники $A M K$ и $A B C$ имеют общий угол $A .$ Для треугольников с общим углом отношение площадей равно отношению произведений сторон, заключающих этот угол:

\frac{S _{A M K}}{S _{A B C}} = \frac{A K \cdot A M}{A B \cdot A C} .

По условию $A K = \frac{1}{7} A B,$ а $A M = \frac{1}{2} A C .$ Тогда:

\frac{S _{A M K}}{S _{A B C}} = \frac{\frac{1}{7} A B \cdot \frac{1}{2} A C}{A B \cdot A C} = \frac{1}{14} .

Следовательно:

S_{A B C} = 14 \cdot S_{A M K} = 14 \cdot 2 = 28.

Ответ: 28.

Медиана $B M$ проведена к стороне $A C,$ поэтому точка $M$ — середина $A C,$ и $A M = \frac{1}{2} A C .$

\frac{S _{A M K}}{S _{A B C}} = \frac{A K \cdot A M}{A B \cdot A C} .

По условию $A K = \frac{1}{7} A B,$ а $A M = \frac{1}{2} A C .$ Тогда:

\frac{S _{A M K}}{S _{A B C}} = \frac{\frac{1}{7} A B \cdot \frac{1}{2} A C}{A B \cdot A C} = \frac{1}{14} .

Следовательно:

S_{A B C} = 14 \cdot S_{A M K} = 14 \cdot 2 = 28.

Ответ: 28.

Задача №09345

Задача #09345

Решай похожие задачи

Информация

Задача №09345

Задача #09345

Решай похожие задачи

Информация

Задача #09345

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация

Задача #09345

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация