Задача №09342

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB=82\text{,}$ $\sin A=\frac{9}{41}\text{.}$ Найдите площадь треугольника $ABC\text{.}$

Так как треугольник $ABC$ — равнобедренный с боковыми сторонами $AB=BC=82\text{,}$ углы при основании $AC$ равны: $\angle A=\angle C\text{.}$

Проведём высоту $BH$ к основанию $AC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому $AC=2AH\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH\text{:}$

1. Найдём высоту $BH\text{:}$

2. Найдём $\cos A\text{.}$ Так как угол $A$ — острый угол при основании равнобедренного треугольника, то $\cos A>0\text{:}$

3. Найдём прилежащий катет $AH\text{:}$

Тогда основание $AC$ равно:

Площадь треугольника $ABC$ вычислим по формуле половины произведения основания на высоту:

Ответ: 1440