В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона AB = 82 , sin A = (9)/(41) . Найдите площадь треугольника ABC .

Так как треугольник ABC — равнобедренный с боковыми сторонами AB = BC = 82 , углы при основании AC равны: A = C . Проведём высоту BH к основанию AC . В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому AC = 2AH . Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH : 1. Найдём высоту BH : BH = AB * sin A = 82 * (9)/(41) = 2 * 9 = 18. 2. Найдём cos A . Так как угол A — острый угол при основании равнобедренного треугольника, то cos A > 0 : cos A = sqrt(1 - sin^2 A) = sqrt(1 - ((9)/(41))^2) = sqrt(1 - (81)/(1681)) = sqrt((1600)/(1681)) = (40)/(41). 3. Найдём прилежащий катет AH : AH = AB * cos A = 82 * (40)/(41) = 2 * 40 = 80. Тогда основание AC равно: AC = 2 * AH = 2 * 80 = 160. Площадь треугольника ABC вычислим по формуле половины произведения основания на высоту: S = (1)/(2) * AC * BH = (1)/(2) * 160 * 18 = 80 * 18 = 1440. Ответ: 1440

1440