В прямоугольной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов равен 135^. Найдите меньшую боковую сторону.

У прямоугольной трапеции два угла прямые, они прилежат к большей (вертикальной) боковой стороне — она является высотой трапеции. Меньшая боковая сторона наклонная. Пусть основания BC = 3 (меньшее) и AD = 5 (большее). Опустим из конца меньшего основания перпендикуляр на большее основание. Горизонтальная проекция наклонной боковой стороны равна разности оснований: AD - BC = 5 - 3 = 2. Угол трапеции при наклонной боковой стороне (тупой) равен 135^. Тогда острый угол при большем основании равен 180^ - 135^ = 45^. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, проекцией и наклонной боковой стороной, угол при основании равен 45^, поэтому катеты равны: высота трапеции равна горизонтальной проекции: h = 2. Наклонная боковая сторона при этом равна (2)/(cos 45^) = 2sqrt(2) ~ 2,83. Из двух боковых сторон h = 2 и 2sqrt(2) ~ 2,83 меньшая — высота, равная 2. Ответ: 2.

2