Задача №09341

В прямоугольной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов равен $135^{\circ }\text{.}$ Найдите меньшую боковую сторону.

У прямоугольной трапеции два угла прямые, они прилежат к большей (вертикальной) боковой стороне — она является высотой трапеции. Меньшая боковая сторона наклонная.

Пусть основания $BC=3$ (меньшее) и $AD=5$ (большее). Опустим из конца меньшего основания перпендикуляр на большее основание. Горизонтальная проекция наклонной боковой стороны равна разности оснований:

Угол трапеции при наклонной боковой стороне (тупой) равен $135^{\circ }\text{.}$ Тогда острый угол при большем основании равен

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, проекцией и наклонной боковой стороной, угол при основании равен $45^{\circ }\text{,}$ поэтому катеты равны: высота трапеции равна горизонтальной проекции:

Наклонная боковая сторона при этом равна

Из двух боковых сторон $h=2$ и $2\sqrt{2}\approx 2,83$ меньшая — высота, равная $2\text{.}$

Ответ: 2.