В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона AB = 34, sin A = (8)/(17). Найдите площадь треугольника ABC.

В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны равны: AB = BC = 34, а A — угол при основании AC. Опустим высоту BH из вершины B на основание AC. Так как треугольник равнобедренный, точка H — середина основания AC. В прямоугольном треугольнике ABH (с прямым углом при H): BH = AB * sin A = 34 * (8)/(17) = 16. Найдём косинус угла A по основному тригонометрическому тождеству: cos A = sqrt(1 - sin^2 A) = sqrt(1 - (64)/(289)) = sqrt((225)/(289)) = (15)/(17). Тогда: AH = AB * cos A = 34 * (15)/(17) = 30. Поскольку H — середина основания, AC = 2 * AH = 60. Следовательно, площадь треугольника: S = (1)/(2) * AC * BH = (1)/(2) * 60 * 16 = 480. Ответ: 480.

480