Задача №09340

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB=34\text{,}$ $\sin A=\frac{8}{17}\text{.}$ Найдите площадь треугольника $ABC\text{.}$

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны равны: $AB=BC=34\text{,}$ а $A$ — угол при основании $AC\text{.}$

Опустим высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AC\text{.}$ Так как треугольник равнобедренный, точка $H$ — середина основания $AC\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABH$ (с прямым углом при $H$):

Найдём косинус угла $A$ по основному тригонометрическому тождеству:

Тогда:

Поскольку $H$ — середина основания, $AC=2\cdot AH=60\text{.}$

Следовательно, площадь треугольника:

Ответ: 480.