Задача №09339 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В треугольнике ABC внешние углы при вершинах A и C равны 150^, AB = 48. Найдите длину биссектрисы BK.

Внутренние углы треугольника и смежные с ними внешние углы в сумме составляют 180^. Найдем внутренние углы при вершинах A и C: A = 180^ - 150^ = 30^. C = 180^ - 150^ = 30^. Так как A = C = 30^, треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC, следовательно, боковые стороны равны: AB = BC = 48. В равнобедренном треугольнике биссектриса BK, проведенная к основанию, является также высотой и медианой. Таким образом, отрезок BK перпендикулярен AC, а треугольник ABK — прямоугольный с прямым углом при вершине K ( AKB = 90^). В прямоугольном треугольнике ABK катет BK лежит напротив угла A = 30^. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в 30^, равен половине гипотенузы: BK = (AB)/(2) = (48)/(2) = 24. Ответ: 24

24