Задача №09338

В ромбе противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $180^{\circ }\text{.}$ Сумма двух углов равна $120^{\circ }$ — значит, это пара равных острых углов, и каждый острый угол равен

$$\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Тогда тупые углы ромба равны $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }\text{.}$

Все стороны ромба равны, поэтому из периметра находим сторону:

$$a=\frac{84}{4}=21.$$

Меньшая диагональ соединяет вершины тупых углов и лежит против острого угла $60^{\circ }\text{.}$ Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и этой диагональю $d\text{.}$ По теореме косинусов:

$$d^2=a^2+a^2-2a^2\cos 60^{\circ }=2a^2-2a^2\cdot \frac{1}{2}=a^2.$$

Следовательно:

$$d=a=21.$$

Ответ: 21.