Задача №09334

Противоположные углы ромба равны, а сумма соседних углов равна $180^{\circ }\text{.}$ По условию сумма двух углов равна $120^{\circ }\text{;}$ соседние углы дали бы $180^{\circ }\text{,}$ значит речь о двух равных противоположных углах:

$$2\alpha =120^{\circ }\Rightarrow \alpha =60^{\circ }.$$

Значит углы ромба равны $60^{\circ }$ и $120^{\circ }\text{.}$ Меньшая диагональ лежит против меньшего угла $60^{\circ }\text{.}$ Обозначим сторону ромба $a\text{.}$ Эта диагональ $d$ отсекает треугольник со сторонами $a\text{,}$ $a$ и углом $60^{\circ }$ между ними. По теореме косинусов:

$$d^2=a^2+a^2-2a^2\cos 60^{\circ }=2a^2-2a^2\cdot \frac{1}{2}=a^2,$$

откуда $d=a\text{.}$ Поскольку $d=23\text{,}$ то $a=23\text{.}$

Периметр ромба:

$$P=4a=4\cdot 23=92.$$

Ответ: 92