В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов равен 135^. Найдите меньшую боковую сторону.

Рассмотрим прямоугольную трапецию с основаниями BC = 4 (меньшее) и AD = 7 (большее). Боковая сторона AB перпендикулярна основаниям (в трапеции два прямых угла), поэтому она равна высоте трапеции. Вторая боковая сторона CD — наклонная, угол при ней равен 135^. Опустим из вершины C перпендикуляр CH на большее основание AD. Получим прямоугольник ABCH и прямоугольный треугольник CHD. Горизонтальный катет: HD = AD - BC = 7 - 4 = 3. Поскольку основания параллельны, угол при вершине D — внутренний односторонний к углу 135^: D = 180^ - 135^ = 45^. Значит, в прямоугольном треугольнике CHD угол D равен 45^, и треугольник равнобедренный. Тогда высота трапеции (она же боковая сторона AB): CH = HD = 3. Меньшая боковая сторона — это перпендикулярная сторона AB = CH = 3, так как наклонная CD = 3sqrt(2) ~ 4,24 больше. Ответ: 3.

3