Задача №09326

Рассмотрим прямоугольную трапецию с основаниями $BC=4$ (меньшее) и $AD=7$ (большее). Боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям (в трапеции два прямых угла), поэтому она равна высоте трапеции. Вторая боковая сторона $CD$ — наклонная, угол при ней равен $135^{\circ }\text{.}$

Опустим из вершины $C$ перпендикуляр $CH$ на большее основание $AD\text{.}$ Получим прямоугольник $ABCH$ и прямоугольный треугольник $CHD\text{.}$

Горизонтальный катет:

$$HD=AD-BC=7-4=3.$$

Поскольку основания параллельны, угол при вершине $D$ — внутренний односторонний к углу $135^{\circ }\text{:}$

$$\angle D=180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }.$$

Значит, в прямоугольном треугольнике $CHD$ угол $D$ равен $45^{\circ }\text{,}$ и треугольник равнобедренный. Тогда высота трапеции (она же боковая сторона $AB$):

$$CH=HD=3.$$

Меньшая боковая сторона — это перпендикулярная сторона $AB=CH=3\text{,}$ так как наклонная $CD=3\sqrt{2}\approx 4,24$ больше.

Ответ: 3.