Задача №09324

Так как $M$ — середина стороны $AC\text{,}$ то

$$AM=MC=\frac{AC}{2}=\frac{168}{2}=84.$$

Треугольник $ABC$ равнобедренный, поскольку $AB=BC=85\text{.}$ В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой, поэтому $BM\perp AC\text{.}$

Тогда треугольник $ABM$ прямоугольный с прямым углом при вершине $M\text{.}$ По теореме Пифагора:

$$BM=\sqrt{A{B}^2-A{M}^2}=\sqrt{85^2-84^2}.$$

Вычислим:

$$85^2-84^2=(85-84)(85+84)=1\cdot 169=169,$$ $$BM=\sqrt{169}=13.$$

Ответ: 13