Задача №09318

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Они разбивают ромб на четыре равных прямоугольных треугольника, в каждом из которых гипотенузой служит сторона ромба, а катетами — половины диагоналей.

Пусть $a=25$ — сторона ромба, а данная диагональ равна $d_1=48\text{.}$ Тогда её половина:

$$\frac{d_1}{2}=\frac{48}{2}=24.$$

Обозначим половину второй диагонали через $x\text{.}$ По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $a$ и катетами $24$ и $x\text{:}$

$$x=\sqrt{a^2-24^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7.$$

Тогда вторая диагональ:

$$d_2=2x=2\cdot 7=14.$$

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$$S=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2=\frac{1}{2}\cdot 48\cdot 14=336.$$

Ответ: 336