На окружности с центром O и диаметром AB отмечена точка C так, что угол COB равен 120^, AC = 18. Найдите диаметр окружности.

Точки A, O, B лежат на одной прямой (AB — диаметр), поэтому углы AOC и COB смежные: AOC = 180^ - COB = 180^ - 120^ = 60^. Рассмотрим треугольник AOC. Его стороны OA и OC — радиусы окружности, значит OA = OC = R, и треугольник равнобедренный. По теореме косинусов для стороны AC, лежащей против угла AOC: AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2* OA * OC * cos AOC = R^2 + R^2 - 2R^2cos 60^. Так как cos 60^ = (1)/(2), получаем: AC^2 = 2R^2 - 2R^2* (1)/(2) = R^2, то есть AC = R. По условию AC = 18, поэтому радиус R = 18, а диаметр: AB = 2R = 2* 18 = 36. Ответ: 36

36