Задача №09312

Точки $A\text{,}$ $O\text{,}$ $B$ лежат на одной прямой ($AB$ — диаметр), поэтому углы $AOC$ и $COB$ смежные:

$$\angle AOC=180^{\circ }-\angle COB=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }.$$

Рассмотрим треугольник $AOC\text{.}$ Его стороны $OA$ и $OC$ — радиусы окружности, значит $OA=OC=R\text{,}$ и треугольник равнобедренный. По теореме косинусов для стороны $AC\text{,}$ лежащей против угла $AOC\text{:}$

$$A{C}^2=O{A}^2+O{C}^2-2\cdot OA\cdot OC\cdot \cos \angle AOC=R^2+R^2-2R^2\cos 60^{\circ }.$$

Так как $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}\text{,}$ получаем:

$$A{C}^2=2R^2-2R^2\cdot \frac{1}{2}=R^2,\text{то есть}AC=R.$$

По условию $AC=18\text{,}$ поэтому радиус $R=18\text{,}$ а диаметр:

$$AB=2R=2\cdot 18=36.$$

Ответ: 36