Задача №09309

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM\text{,}$ проведённая к основанию, равна 5, а $\mathrm{tg}A=0,25\text{.}$ Найдите площадь треугольника $ABC\text{.}$

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ высота $BM\text{,}$ проведённая к основанию, является также медианой. Значит, точка $M$ — середина $AC\text{,}$ а угол $BMA$ прямой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ с прямым углом при вершине $M\text{.}$ В нём катет $BM=5$ лежит против угла $A\text{,}$ а катет $AM$ прилежит к углу $A\text{.}$ Тогда:

Отсюда:

Так как $M$ — середина основания, то $AC=2\cdot AM=2\cdot 20=40\text{.}$

Площадь треугольника находим через основание $AC$ и высоту $BM\text{:}$

Ответ: 100.