Задача №09307

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^{\circ }\text{,}$ $AB=27\text{.}$ Найдите $BD\text{.}$

1. По свойствам параллелограмма противолежащие углы равны, то есть $\angle A=\angle C\text{.}$ Так как их сумма равна $120^{\circ }\text{,}$ получаем:

2. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом. У ромба все стороны равны, следовательно, $AB=AD=CD=BC=27\text{.}$

3. Рассмотрим треугольник $ABD\text{.}$ В этом треугольнике стороны $AB$ и $AD$ равны (так как это стороны ромба), значит, треугольник $ABD$ — равнобедренный.

4. Поскольку в равнобедренном треугольнике $ABD$ угол $\angle A=60^{\circ }\text{,}$ углы при основании также равны:

Таким образом, все углы треугольника равны $60^{\circ }\text{,}$ а значит, треугольник $ABD$ — равносторонний.

5. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому $BD=AB=27\text{.}$

Ответ: 27