Задача №09287

Так как отрезок $BM$ является одновременно медианой и биссектрисой треугольника $ABC\text{,}$ то треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$ (стороны $AB=BC$).

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является высотой. Следовательно, $BM\perp AC\text{,}$ то есть треугольник $ABM$ — прямоугольный ($\angle AMB=90^{\circ }$).

Поскольку $BM$ — биссектриса угла $B\text{,}$ имеем:

$$\angle ABM=\frac{\angle B}{2}=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $ABM\text{:}$

$$\angle A=90^{\circ }-\angle ABM=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы. Катет $BM$ лежит против угла $\angle A=30^{\circ }\text{,}$ а гипотенузой является сторона $AB\text{.}$ Таким образом:

$$BM=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AB=2\cdot BM.$$

Подставим значение $BM=28\text{:}$

$$AB=2\cdot 28=56.$$