Задача №09287 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В треугольнике ABC угол B равен 120^. Медиана BM делит угол B пополам и равна 28. Найдите длину стороны AB.

Так как отрезок BM является одновременно медианой и биссектрисой треугольника ABC, то треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC (стороны AB = BC). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является высотой. Следовательно, BM AC, то есть треугольник ABM — прямоугольный ( AMB = 90^). Поскольку BM — биссектриса угла B, имеем: ABM = ( B)/(2) = (120^)/(2) = 60^. Тогда в прямоугольном треугольнике ABM: A = 90^ - ABM = 90^ - 60^ = 30^. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30^, равен половине гипотенузы. Катет BM лежит против угла A = 30^, а гипотенузой является сторона AB. Таким образом: BM = (1)/(2) AB => AB = 2 * BM. Подставим значение BM = 28: AB = 2 * 28 = 56.

56