Задача №09286

Сумма всех углов ромба равна $360^{\circ }\text{.}$ Противоположные углы ромба равны, а соседние в сумме дают $180^{\circ }\text{.}$ Поскольку сумма двух углов равна $240^{\circ }>180^{\circ }\text{,}$ это два равных (противоположных) угла:

$$2\alpha =240^{\circ }\Rightarrow \alpha =120^{\circ }.$$

Тогда два других угла равны $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }\text{.}$

Обозначим сторону ромба через $a\text{.}$ Меньшая диагональ соединяет вершины с тупыми углами и лежит против острого угла $60^{\circ }\text{.}$ Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и этой диагональю; угол между сторонами равен $60^{\circ }\text{.}$ По теореме косинусов:

$$d^2=a^2+a^2-2a^2\cos 60^{\circ }=2a^2-2a^2\cdot \frac{1}{2}=a^2.$$

Значит, $d=a\text{.}$ Это и есть меньшая диагональ (для угла $120^{\circ }$ аналогично получилось бы $d=a\sqrt{3}>a$).

По условию меньшая диагональ равна 16, поэтому $a=16\text{.}$

Периметр ромба:

$$P=4a=4\cdot 16=64.$$

Ответ: 64.