Задача №09283

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ высота $BM\text{,}$ проведённая к основанию, является также медианой, поэтому $M$ — середина $AC\text{,}$ и $AC=2\cdot AM\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ (угол $AMB=90^{\circ }$). В нём $BM$ — катет, противолежащий углу $A\text{,}$ а $AM$ — катет, прилежащий к углу $A\text{.}$ Тогда:

$$\mathrm{tg}A=\frac{BM}{AM}.$$

Отсюда:

$$AM=\frac{BM}{\mathrm{tg}A}=\frac{15}{2,5}=6.$$

Следовательно, основание:

$$AC=2\cdot AM=2\cdot 6=12.$$

Площадь треугольника равна половине произведения основания на проведённую к нему высоту:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BM=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 15=90.$$

Ответ: 90