Задача №09282

Так как отрезок $BM$ является медианой и по условию делит угол $B$ пополам (то есть является биссектрисой), то треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB=BC\text{.}$

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является высотой. Следовательно, отрезок $BM$ перпендикулярен $AC\text{,}$ а треугольник $ABM$ — прямоугольный ($\angle AMB=90^{\circ }$).

Поскольку $BM$ — биссектриса угла $B\text{,}$ имеем:

$$\angle ABM=\frac{\angle B}{2}=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике $ABM$ угол $A$ равен:

$$\angle A=90^{\circ }-\angle ABM=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$

Катет $BM$ лежит напротив угла в $30^{\circ }\text{,}$ поэтому он равен половине гипотенузы $AB\text{:}$

$$BM=\frac{AB}{2}\Rightarrow AB=2\cdot BM.$$

Подставляя значение $BM=25\text{,}$ получаем:

$$AB=2\cdot 25=50.$$