Задача №09281

Так как $AB$ — диаметр окружности, точки $A\text{,}$ $O\text{,}$ $B$ лежат на одной прямой, поэтому углы $AOC$ и $COB$ — смежные:

$$\angle AOC=180^{\circ }-\angle COB=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }.$$

Центральный угол $AOC$ опирается на дугу $AC\text{,}$ а вписанный угол $ABC$ опирается на ту же дугу $AC\text{.}$ Вписанный угол вдвое меньше центрального:

$$\angle ABC=\frac{\angle AOC}{2}=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }.$$

Угол $ACB$ — вписанный, опирающийся на диаметр $AB\text{,}$ поэтому он прямой: $\angle ACB=90^{\circ }\text{.}$ Значит, треугольник $ACB$ прямоугольный с гипотенузой $AB\text{.}$

Катет $AC$ лежит против угла $ABC=30^{\circ }\text{,}$ поэтому:

$$AC=AB\cdot \sin (\angle ABC)=AB\cdot \sin 30^{\circ }=AB\cdot \frac{1}{2}.$$

Отсюда:

$$AB=\frac{AC}{\sin 30^{\circ }}=\frac{23}{0,5}=46.$$

Диаметр окружности равен $AB=46\text{.}$

Ответ: 46.